第一章 图形推理

第一节 位置规律

位置类识别特征：元素组成相同
考点一：平移
1.方向：直线（上下、左右、斜对角线）、绕圈（顺逆时针）
2.常见步数：恒定、递增（等差）
考点二：旋转、翻转
1.旋转
（1）方向：顺时针、逆时针
（2）常见角度：45、90、180
2.翻转
（1）左右翻转：竖轴对称
（2）上下翻转：横轴对称

第二节 样式规律

识别特征：元素组成相似（线条重复出现）
考点一：加减同异
1.相加、相减
2.求异（去同求异）
3.求同（去异求同）
考点二：黑白运算
1.特征：图形轮廓和分割区域相同，内部的颜色不同
2.方法：相同位置运算
区分：
黑块数量相同：优先平移
黑块数量不同：优先黑白运算

第三节 属性规律

属性类识别特征：元素组成不相同、不相似，优先属性
考点：
1.对称性
2.曲直性
3.开闭性
考点一：对称性
1、轴对称（方向和数量）
2、中心对称
考点二：曲直性
1、全曲线
2、全直线
考点三：开闭性
1、全封闭
2、全开放
特征：完整的图形留了小开口库，可以考虑开闭性

第四节 数量规律

数量类识别特征

  • 元素组成不同、不相似
  • 数量规律明显

考点

  • 点、线、面、素、角

考点一：点数量
线与线的交点
注意切点也是交点
数点图形特征：
（1）线条交叉明显（大树杈）
（2）乱糟糟一团线交叉
（3）相切较多
考点二：线数量
直线数特征图：多边形、单一直线
曲线数特征图：曲线图形（全曲线图、圆、弧）
线的特殊考点：笔画问题
一笔画：图形由一笔画成，线条不能重复来回画
一笔画问题
（1）线条之间连通
（2）奇点数=0或2
奇点：由一个点发射出奇数条线
多笔画问题：
笔画数=奇点数/2（奇点数一定是偶数个）

考点三：面数量
1.什么是面？封闭空间
面是白的，黑的不是
2.什么时候数面？
（1）图形被分割、封闭面明显
（2）生活化图形、粗线条图形中留空白区域
考点四：素数量
小元素特征
1.元素种类
2.元素个数
3.元素替换
特征：多个独立小图形
部分数特征
特征：生活化图形、黑色粗线条图形
生活化、黑线条图形常见考法
1.部分数
2.面（黑线条内留白较多）
3.属性（对称、开闭）
考点五：角数量
角：内角，即0-180之间的角
锐角、直角、钝角
题型特征：扇形图，改造图，折线图

第五节 特殊规律

核心公式：工作总量=效率x时间。
常用方法：赋值法和方程法。
公务员常考题型：
一、给定时间型：题干中只出现工作时间，未提及效率关系，叫做给定时间型。
解题方法：①赋值总量为时间的公倍数②求出各自的效率③分析求解
二、效率制约型：题干中对效率有制约，例如甲、乙的效率之比为2:3，为效率制约型题目。
解题方法：①赋值效率；②直接赋值各自效率比值，例如甲、乙的效率之比为2:3，赋值甲的效率为2，乙的效率为3；③分析求解
三、效率给出型：直接将效率的具体值给出，例如甲每天生产50个零件。
解题方法：直接分析求解即可。

第六节 空间重构

1.核心公式：
路程=速度x时间
S=vxt
2.等距离求平均速度
v=2v1v2v1+v2v=\frac{2v1v2}{v1+v2}
3.流水行船问题
顺流速度=静水船速+水速
逆流速度=静水船速-水速
4.相遇追及问题
相遇距离=(大速度+小速度)x相遇时间
追及距离=(大速度-小速度)x追及时间
环线型n次相遇，共同行走的距离=nx环线长度。
环线型n次追及，追及的距离=nx环线长度。
5.两端相遇问题
直线型两端出发n次相遇，共同行走距离=(2n-1)x两地初始距离

第七节 立体图形

基本概念：
加法原理：分类用加法
乘法原理：分步用乘法
排列：与顺序有关，每个人去做不同的事情
组合：与顺序无关，每个人去做相同的事情
基本公式：
排列公式：Anm=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)A^m_n=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)
例如：A=7x6x5x4
组合公式：Cnm=Anmm!=n(n−1)(n−2)..(n−m+1)m×(m−1)×(−2)...×2×1C^m_n= \frac{A^m_n}{m!}=\frac{n(n-1)(n-2)..(n-m+1)}{m×(m-1)×(-2)...×2×1}
例如：C73=7×6×53×2×1C^3_7=\frac{7×6×5}{3×2×1}
Tip1：C55=C66=C77=Cmm=1C^5_5=C^6_6=C^7_7=C^m_m=1
Tip2：C52=C35、C72=C75、Cmn=Cmm−nC^2_5=C^5_3、C^2_7=C^5_7、C^n_m=C^{m-n}_m
拓展题型：
捆绑法：相邻问题，将相邻的元素捆绑成一个元素
插空法：不相邻问题，先对其他元素排列，然后将不相邻的元素插入空中
插板法：N个物品分给M个人，每人至少分得一个，N个物品中间有(N-1)个空，在空中插入(M-1)个板，共有CN−1M−1C^{M-1}_{N-1}种情况。
错位排列：有N封信和N个信封，每封信都不装在自己对应的信封里，可能的方案数记作Dn，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44D_n，D_2=1，D_3=2，D_4=9，D_5=44，记住这五个即可。

第八节 概率问题

1.基本概率
某种情况发生的概率=满足条件的情况数÷总的情况数。
P=满足条件的情况数总的情况数P=\frac{满足条件的情况数}{总的情况数}
2.分步乘法型
分步概率=满足条件的每个步骤概率之积
3.分类加法型
总体概率=满足条件的各种情况概率之和
4.逆向计算型
某事件的概率=1-该事件不发生的概率

第九节 经济利润问题

1.利润折扣问题：
总成本=单个成本x进口量；总售价=单价x销售量；利润=售价-成本；总利润=总售价-总成本
利润率=利润成本=售价−成本成本=售价成本−1利润率=\frac{利润}{成本}=\frac{售价-成本}{成本}=\frac{售价}{成本}-1
2.分段计费问题
分段计费问题主要涉及水电、资费、提成等通常分段计费问题。解题关键在于找到分段节点，分区间讨论计算。

第十节 最值问题

最不利构造
题型特征：至少…才能保证…
解题方法：最不利情形十1
数列构造
题型特征：最多······最少······
最少······最多······
排名第······最多(少) ······
解题方法：
排序，所有元素进行排序；
定位，求谁设谁x；
构造，根据题意构造其他元素的值；
求和，所有元素求和，解 x。
如果求得x为小数，问最少向上取整，问最多向下取整
多集合反向构造
题型特征：多集合题目中，问题中出现，至少······都······的情况下；
解析策略：采用逆向思考，反向，求和，做差。

第十一节 容斥原理

两集合标准型公式
|A|+|B|-|AB|= 总数-都不满足
三集合标准
|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|=总数-都不满足
三集合非标准
|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2x满足三个条件=总数-都不满足
使用场景：只有当题目中出现“(只)满足两个条件”时，使用非标准公式
文氏图法：每一个封闭区域内只有一个数字，并且代表该区域的面积。
使用原则：出现“只满足某一个条件”时，优先画图法。
不能直接代入公式的，使用画图法。

第十二节 几何问题

常用公式
n边形的内角和与外角和
内角和=(n-2)x180°，外角和恒等于360°
常用周长公式
正方形周长C正方形=4aC_{正方形}=4a；长方形周长C长方形=2(a+b)C_{长方形}=2(a+b)；圆形周长C圆=2πRC_圆=2πR
常用面积公式
正方形面积S正方形=a2S_{正方形}=a^2；长方形面积S长方形=abS_{长方形}=ab；圆形面积S圆=πR2S_圆=πR^2
三角形面积S三角形=12ahS_{三角形}=\frac{1}{2}ah；平行四边形面积S平行四边形=ahS_{平行四边形}=ah；
梯形面积S梯形=12(a+b)hS梯形=\frac{1}{2}(a+b)h；扇形面积S扇形=n360°πR2S_{扇形}=\frac{n}{360°}πR^2
常用表面积公式
正方体的表面积=6a26a^2；长方体的表面积=2ab+2bc+2ac；
圆柱的表面积=2πRh+2πR22πRh+2πR^2，侧面积=2πRh；球的表面积=4πR24πR^2
常用体积公式
正方体的体积=a3a^3；长方体的体积=abc；球的体积=43πR3\frac{4}{3}πR^3
圆柱的体积=πR2hπR^2h；圆锥(棱锥)的体积=13\frac{1}{3} x 底面积 x 高

第十三节 年龄问题

年龄问题
方法一：代入排除法
方法二：方程法
核心点：每年每人长一岁，两个人的年龄差不变

第十四节 溶液问题

核心公式：
浓度=溶质溶液=盐盐水总重量=糖糖水总重量=酒精酒水总重量浓度=\frac{溶质}{溶液}=\frac{盐}{盐水总重量}=\frac{糖}{糖水总重量}=\frac{酒精}{酒水总重量}

第十五节 牛吃草问题

题型特征：双排比句，有一定存量的同时又在变化
牛吃草：240头牛吃6天，200头牛吃10天
挖沙子：80人连续开采6个月，60人连续开采10个月
检票：同时开4个检票口需50分钟，同时开6个检票口需30分钟
水池：5台抽水机 40小时可以抽完，10台抽水机15小时可以抽完
泄洪：打开10个泄洪闸8小时可以恢复安全水位，打开6个需要24小时
解题策略：
(例)一片草地(草以均匀的速度生长)，240头牛可以吃6天，200头牛可以吃10天，则这片草原可供190头牛吃的天数是()
第一步，假设每头牛每天吃1份草。
第二步，假设草场原有y份草，每天自然生长x份草。
第三步，代入第一个条件“240头牛可以吃6天”，240头牛一天可以吃掉240份草，于是草场每天减少(240-x)份，y÷(240-x)=6；代入第二个条件“200头牛可以吃10天”，草场每天减少(200-x)份草，y÷(200-x)=10。
第四步，解方程y=600，x=140，即原草场有600份草，每天长140份草。
第五步，分析计算，190头牛每天吃190份草，每天长140份，于是草场每天实际减少50份草，600-50=12天。
核心公式：T=y(N−x)T=\frac{y}{(N-x)}
y代表原有草量
x代表草的生长速度
N代表“牛数”
T代表时间。

第十六节 循环周期问题

核心点：若一串事物以T为周期，且A÷T=N余a，那么第A项等同于第a项。
如果可以整除，那么第A项就相当于周期当中的最后一项，即第T项。

第十七节 星期日期问题

平年与闰年：
口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰。
大月与小月：大月31天(1、3、5、7、8、10、12月)；小月30 天(4、6、9、11月)
2月 闰年：29天 平年：28天
每过一个平年(365÷7=52余1)星期+1，每过一个闰年(366÷7=52余2)星期+2
星期日期推断：每连续7天一定包含一个完整的星期

第十八节 比赛问题

淘汰赛：
每场比赛淘汰一队，每轮比赛淘汰一半的队伍(如果总数是奇数，例如11个队伍一轮淘汰5个队伍，一支队伍轮空，保留6个队伍)。
循环赛：
单循环赛，每支队伍都要和其他队伍进行一次比赛，N支队伍的总场次是CN2=N×(N−1)2C^2_N=\frac{N×(N-1)}{2}
双循环赛，每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛(分主场和客场)，N队伍的总场次是AN2=N×(N−1)A^2_N=N×(N-1)

第十九节 统筹优化问题

统筹安排型
常用方法：枚举法、逻辑推断

第二十节 钟表问题

追及问题
分针速度为360°/60min=6°/min；时针的速度30°/60min=0.5°/min
一整天分针走过 24 圈，时针走过 2 圈，所以时针追上分针 22 次，时针和分针重合 22 次，垂直 44 次（每次重合前后都会呈现两次垂直）

第二十一节 植树问题

植树问题
单边线性植树：棵数＝总长÷间隔＋1，总长＝(棵数－1)×间隔；
单边环形植树：棵数＝总长÷间隔，总长＝棵数×间隔。
注意：区分题干中是在马路单边植树还是在马路双边植树。
剪绳问题
将绳子截为 N 段，需要截（N-1）次。

第二十二节 函数问题

【例 1】如下图，正方形 ABCD 边长为 10 厘米，一只小蚂蚁 E 从 A 点出发匀速移动，沿边 AB，BC，CD 前往 D 点。问哪个图形能反映三角形 AED 的面积与时间的关系？

第二十三节 数列问题

平均数 公式：𝑎=a1+a2+...+ann𝑎=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}

等差数列
通项公式：𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑𝑎_𝑛 = 𝑎_1 + (𝑛 − 1)𝑑
求和公式：和=12\frac{1}{2}×（首项+末项）×项数=平均数×项数=中位数×项数
项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1

第二十四节 天平问题

天平称量
N 次称量可以从 3N3^N个物品中，选出具有差异的瑕疵品。

第二十五节 空瓶换酒

空瓶换酒型
解题技巧：我们将“M 个空瓶换 1 瓶酒”，转化为“（M-1）个空瓶换 1 个（无瓶）酒”来完成答题，这样的题目我们默认是可以“借瓶再换瓶”的。

第二十六节 方阵问题

若正方形方阵一边人数为 N，长方形方阵两边人数分别为 M、N，则：
（1）正方形实心方阵的总人数为 N2N^2，长方形实心方阵的总人数为 MN。
（2）正方形方阵最外层人数 4N-4，长方形方阵最外层人数 2（M+N）-4。
（3）方阵相邻两层人数相差 8 人。

第二十七节 拿牌问题

拿牌问题
第一次拿完牌后，恰好凑成最大最小数之和的倍数。