数学运算
第一节 代入排除法
【注意】代入排除法：
1、什么时候用？
（1）特定题型：年龄、余数、多位数、不定方程。
①年龄：涉及到年龄的问题（年龄差不变）。隐含条件是年龄差保持不变，比如王义老师今年28岁，李夫人老师今年38岁，两人年龄差为10岁，10年后，王义老师变为38岁，李夫人老师变为48岁，10年后两人年龄差依旧为10岁。
②余数：出现"余"字，平均分，有剩余（常见出题形式）。
例：一个数，除以7余3，除以8余2，除以9余1······。
A、10 B、11
答：考虑代入排除法，代入A项：10除以7余3、除以8余2、除以9余1，满足，当选。
③多位数：三位数/四位数：出现位数的变化。可能是车牌号、银行保险柜密码。优先验证对调的条件。
例：一个三位数，十位上的数字比百位多1，十位和各位对调，比原来大9······。
A、121 B、123
答：位数从右向左数"个十百"，代入A项：“十位上的数字比百位多1”，2比1多1，满足；将十位上的数字2和个位上的数字1对调112，比原来的121小，排除；B项：“十位上的数字比百位多1”，2比1多1，满足；将十位上的数字2和个位上的数字3对调为132，132-123=9，满足，当选。
④不定方程：未知数个数多于方程个数。比如5x+4=24，普通方程，未知数只有1个，且有一个等号，即未知数个数=方程个数，属于普通方程；比如3x+2y=10，未知数有2个，方程有1个，即未知数个数多于方程个数，为不定方程，优先考虑代入排除。
（2）选项是一组数：每个选项中数字的个数>=2个数。
（3）条件多，题意乱或难求解。
2、代入排除法怎么用？
（1）方法：先排除、再代入。
第二节 倍数特性法
一、余数型
【注意】余数型：
1、常见形式：平均分，有剩余/缺少，求总数
4、多退少补：
（1）多退：题目出现多几个/余几个/剩几个，多几个在总数上退几个，正正好好。
（2）少补：题目出现少几个/缺几个/不够几个，少几个在总数上补几个，正正好好。
二、比例型：
【比例型】：
1、什么时候用？出现分数、百分数、比例、倍数，可考虑倍数特性。
4、已知A事物/B事物=m/n（最简整数比，不能再约分）。比如男生/女生=6/10，推出男生人数是6的倍数，6的倍数可以是6、12、18、24、30······；如果用最简整数比为3/5，则3的倍数可能为3、6、9、12、15、18、21、24、27，如果不化简为最简整数比，会漏掉很多情况。
（1）A事物是m的倍数。
（2）B事物是n的倍数。
（3）A+B是m+n的倍数。
（4）A-B是m-n的倍数。
第三节 方程法
一、普通方程
【注意】方程法：
1、普通方程：未知数的个数=方程个数
2、不定方程：未知数的个数>方程个数
【注意】：普通方程：找、设、列、解。
1、找等量关系。
2、设未知数技巧：
（1）设小不设大（减少分数计算，重点）：通常设"是"字或者"比"字后的为未知数。比如甲是乙的2倍，设乙为x，甲为2x。
（2）设中间量（方便列式）：甲是乙的1.5倍，丙是乙的3倍。都有中间量乙，设乙为x，则甲为1.5x，丙为3x。
（3）有比例设份数（重点）：甲：乙=3：4，设甲为3x，乙为4x。
（4）问谁设谁（避免陷阱，不会设）：甲和乙总共100个，求甲，设甲为x，则乙为100-x。
二、不定方程
【注意】不定方程：
1、可以代入排除。
2、解法：倍数特性、奇偶特性、尾数特性。本节课最难的点。
【注意】尾数特性法：结合不定方程的尾数求解，如12345的尾数为5、23的尾数为3；再如14+25的尾数为9、14+17的结果尾数为1。
1、ax+by=M，当a或b尾数是0或5时，考虑尾数。字母前的数字叫做系数，等号右侧的是常数项。记忆：任意一个系数尾数为0或者5时，用尾数特性。
【注意】倍数特性：根据项和项之间的倍数关系解题。
1、ax+by=M，当a或b与M有公因子时（记忆：常数项可以和任意的一个系数约分），考虑倍数特性。
【注意】奇偶特性：
1、ax+by=M，当两个系数（a、b）恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性。
3、两数相乘的奇偶性：
（1）偶数 * 偶数=偶数
（2）偶数 * 奇数=偶数
（3）奇数 * 偶数=奇数
第四节 工程问题
【注意】工程问题：在考场中出现，就是送分题，因为比较套路，变形不多相对较固定。2022年5月21日A类和B类的数量均为5题，A、D类都考查了2题工程，B、C、E 类都考査了1题工程，2022 年 11月 12 日的联考中也出现了工程问题，2023年5月份的联考中，也出现了工程问题，相对而言喜欢考查。理论课要讲解的工程问题整体难度比 2022 年考查的工程问题难。
1、三量关系：工作总量=效率 * 时间。
（1）例如：老师编模拟题，每天可以编写5道模拟题（效率），一周只上5天班，一周可以编写 5 * 5=25 道。25 道题是工作总量，效率是5道题，时间是 5天。
（2）W表示总量，P表示效率，t表示时间，W=P * t，P=W/t，t=W/P。
2、考查题型：
（1）给完工时间型（比较基础）。
（2）给效率比例型（重点）。
（3）给具体单位型（比较简单）。
【注意】给完工时间型工程问题（给出多个完工时间）：
1、识别：给出多个完工时间。
（1）“多个”是“≥2个”。
（2）“完工时间”是从头干到尾的时间。
（3）例如：搬一堆砖，甲单干要4小时，乙单干要6 小时，4 小时和6小时都是完工时间，给多个完工时间，属于给完工时间型。
2、三步走：
（1）赋总量（完工时间的公倍数）。
（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式计算。
3、例：搬一堆砖，甲单干要4小时，乙单干要6小时，甲乙合作需要多久完成？
答：初中或小学，赋值工作总量为单位1，设份数，但是不好算，会出现小数或分数，不好计算，此时赋值工作总量为完工时间的公倍数，不管是 100 份工作、1000 份、10000 份工作对结果没有影响。设工作总量为W，甲做完需要4小时，，，乙做完需要6小时，；求甲、乙合作的时间，，甲、乙做W的工作，效率是甲、乙合作的效率（P甲+P乙），，W约掉了，W对于最终的结果无影响，所以可以赋值。为了好算，赋值总量为完工时间的公倍数，例如：4的倍数有4、8、12、16、20、24······6 的倍数有 6、12、18、24、30······，12 既是4的倍数又是 12 的倍数，24 既是4 的倍数又是 12 的倍数，赋值工作总量为 12 或24。（1）赋总量：W=12（24、36均可）；（2）算效率：P甲=12/4=3，P乙=12/6=2；（3）根据工作过程列式计算：问甲、乙合作需要多久，求合作的时间，小时。重点有两个：识别（给出多个完工时间，是给完工时间型工程问题）；做题三步走：赋工作总量、算效率、列式求解。
4、怎么找公倍数——大数扩大找工作总量。
（1）完工时间为4和6：把大数扩大，6扩大2倍变为12，12刚好也是4的倍数，则公倍数为12。
（2）完工时间为6和9：把大数扩大，9扩大2倍变为18，18是6的倍数，则公倍数为18。
【注意】给效率比例型工程问题（给多个效率的比例关系）：
1、方法：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）算总量：效率 * 时间 = 总量
（3）根据工作过程列式计算。
2、例：甲乙两人工作效率之比为 5：2，一项工作两人合作6天可以完成。问乙单独工作需多少天完工？
答：给出效率比例，是给效率比例型工程问题。（1）赋效率：满足比例关系即可，赋值P甲=5、P乙=2（分别赋值为 50、20 也可以）；（2）算总量：已知“一项工作两人合作哦6天可以完成”，W=P * t=（5+2） * 6=42；（3）根据工作过程列式计算：问乙单独工作需要多少天，t=W/P乙=42/2=21天。
3、给效率比例型：分成三种。
（1）直接给。例如：甲、乙的效率之比为 3：4。
（2）间接给。
（3）特殊给。
【注意】间接给：甲4天的工作量等于乙3天的工作量。
1、“4 天”不是完工时间，没有说“甲用4天的时间把工作干完”；“3天”不是完工时间，没有说“乙用3天的时间把工程干完”。两个工作量相等，W甲（4天）=W乙（3天），则P甲 * 4=P乙 * 3→P甲 /P乙=3/4，赋值P甲 =3、P乙=4。
2、结论：W=P * t，W 一定，P 和t成反比。例如：咱们都去打扫同一间教室，我的效率比较低，则我打扫完教室用的时间就越长；我的效率越高，则我打扫完教室用的时间就短。
（1）例如：一样多的工作，P甲：P乙=3：4，则t甲：t乙=4：5。
（2）甲4天的工作量等于乙3天的工作量，t甲：t乙=4：3，则P甲：P乙=3：4。
（3）甲6天的工作量等于乙7天的工作量，t甲：t乙=6：7，则P甲：P乙=7：6。
3、什么情况下用以上结论：
（1）两个部分的工作量相等。例如：甲4天的工作量等于乙3天的工作量。
（2）同样一份工作，如果两人分别干。例如：打扫一间教室，甲干需要6小时，乙干需要7小时，同样一份工作，两人分别干，t甲：t乙=6：7，则P甲：P乙=7：6。
【注意】特殊型——给多个人或多台机器：
1、50 个工人、36 台收割机（每个人效率相同），赋值每个人/每台机器效率为 1。
2、例如：50 个工人是甲、乙、丙、丁······，有的人干活慢、有的人干活快，不可能知道每个人的具体效率，只能默认每个人的效率相同，效率比为 1：1：1：1······，直接赋值每个人的效率为 1。一共 50 个工人，则工厂的效率为 50，3 天的工作总量为 3 * 50=150；6个工人工作4天可以完成的工作量为 6 * 4=24。
【注意】给具体带单位数值型工程问题（具体效率或工作量）：
1、例：
（1）要修 5000 米的路、要栽 1000 棵树，给出了工作总量的数值和单位，此时不能赋值工作总量。
（2）每天修 300 米、每天栽 100 棵树，给出了效率的数值和单位。
2、方法：设未知数，根据工作过程列方程。
3、给完工时间型，赋 W、算 P、列式求解；效率比例型（直接给、讲解给、特殊型），赋 P、算 W、列式求解。
第五节 经济利润问题
一、基础经济
【注意】基本公式：
1、第一组：表示盈亏情况。
（1）利润=售价-成本。例如：卖口红，成本为 20 元/支，卖 78 元/支，则利润=78-20=58 元/支，利润率=58/20。
（2）利润率=利润 / 成本。利润率是百分数，用百分数表示盈亏情况。例如赚了 20 元，则 20 元是利润；赚了 20%，则 20%是利润率。资料分析中：利润率=利润 / 收入，因为资料分析是国家统计局研究的某个国家、某个地区、某个行业的数据，不好核算成本，用收入来表示；数量关系都是小老板做小生意，可以核算成本。
2、售价=成本 * （1+利润率）。售价=成本+利润，利润=利润率 * 成本，则售价=成本+利润率 * 成本=成本 * （1+利润率）。
3、折后价格=折前价格 * 折扣。折扣就是打几折，例如 100 元，打八折，折后为 80 元。原来为 120 元，现在是 100 元，打了100/120。折扣=小的/大的。
4、总价=单价 * 数量。比如一支口红 78 元，卖了 10 支，总价=78 * 10=780 元。总利润=单个利润 * 销量，每支赚 58 元，卖了 10 支，总利润=58 * 10=580 元。
【注意】三组混淆概念：
1、定价和售价：例如霸王防脱洗发液，零售价是30元（定价），促销价是24 元（售价），有促销（调价），定价≠售价；如果就按照定价卖，没有活动，定价=售价。
2、成本和进价：
（1）例如摆地摊卖口红，没有房租、水电等其他成本，则成本=进价。90%以上的经济利润问题，成本=进价。
（2）如果开店铺卖口红，此时成本除了口红的进价，还有房租费、水电费物流费、人工费等其他费用，则成本=进价+其他费用。一般题干会说明其他费用。
3、售价（定价）=成本 * （1+利润率）。该公式需要灵活使用。
（1）某商品成本 100元，按照 20%的利润率定价，则定价为多少元？
答：定价=成本 * （1+利润率）=100 * （1+20%）=120元。利润率最终决定的是谁，用公式算出的就是谁。
（2）某商品成本 100 元，按照 20%的利润率售卖，则售价为多少元？
答：售价=成本 * （1+利润率）=100 * （1+20%）=120元。因为20%的利润率最终决定的是售价，用公式算出的就是售价。
（3）某商品成本 100 元，按照 20%的利润率定价，后又打九折出售，则售价多少元？
答：定价=成本 * （1+利润率）=100 * （1+20%）=120。定价之后又打九折，售价=120 * 90%=108元。利润率决定定价，则120是定价；后面利润率决定售价，则算出的 108 是售价。
【注意】给比例求比例的经济利润问题：赋值法。
1、只提到钱：赋成本。
2、例：某商品按照 20%利润率定价，后来又打9折销售，此时每件商品的利润率是多少？
答：没有出现具体的数值和单位，给比例求比例，叫做无具体数值单位，也叫做给比例求比例，可以用赋值法，通常赋值成本，一切的商业或经济行为都和成本相关，赋值多少好算就赋值为多少，一般是百分数，赋值成本为 100 元，“商品按照 20%利润率定价”，定价=100 * （1+20%）=120 元。“后来打9折销售”，售价=120 * 90%=108 元，利润=售价-成本=108-100=8元，利润率=利润/成本=8/100=8%。
3、给比例求比例的经济利润问题，一般赋值成本为 100。
二、分段计费
【注意】分段计费：
1、在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费标准不等。问：在不同收费标准下，一共需要的费用？
2、计算方法：
（1）先按标准分开看。
（2）计算之后再汇总。
3、引例：某地出租车收费标准为：3公里内起步价8元；超出3公里的部分，每公里 2元。小明打车坐了 12 公里，共花费多少钱？
答：前面3公里8元，后面超出部分为 12-3=9 公里，每公里2元，花费 9 * 2=18元，所求=8+18=26 元。
三、函数最值
【注意】函数最值：
1、题型特征：单价（单利）和销量此消彼长，问何时总销售额/总利润最高？记忆：钱和量此消彼长，何时取最值。
2、计算方法（两点式）：
（1）不管问什么，都设价格变动（提价或降价）的次数为x，总价或总利润=（） * （）。
（2）令总价或为 0，解得 x1、x2，让两个括号分别为 0。
（3）当x=（x1+x2）/2 时，取得最值。
3、引例：单价上升，销量降低；销量降低，定价上升，单价和销量此消彼长，问何时销售总额最高，是函数最值问题。不管问什么，都设提价次数为x，问的是总价，表示出总价，总价=单价 * 销量。原来的情况：单价是 300，卖出16件，原来的总价是 300 * 16=48000，把提价的情况放进去，提价1次单价涨 30元，提价 2次单价涨 2 * 30，提价x次单价涨 30x，则单价=300+30x；再看量，提价1次销量降低1件，提价2次销量降低2件，提价x次销量降低x件，则销量=16-x。总价=（300+30x） * （16-x）。令总价为0，让两个括号分别为0，300+30x=0，解得x=-10，16-x=0，x=16；当x=（x1+x2）/2=（16-10）/2=3 时取最值，提价 3次总销售额最高。
4、横坐标x是提价的次数，纵坐标y是总价，提价 16 次，总价为 0，提价 8次，总价为 4000 多。问的是何时总价最高，即抛物线的顶点，求对应的x的次数，图像是开口向下的抛物线，最高点一定在对称轴上，让总价=0，可以找到和x轴的两个交点，x=-10，x=16，当x=（x1+x2）/2 时，取得最值。
第六节 行程问题
一、普通行程
【注意】行程问题：
1、三量关系：路程=速度 * 时间（S=V * t）。
【注意】等距离平均速度：
1、公式：平均速度=总路程/总时间。
2、例：有 A、B两点，甲从 A→B，速度是V1，从B回到A速度是 V2，问甲往返两地的平均速度为多少？
答：从 A→B，再从 B→A。不能用“”表示整个的平均速度，这是容易犯错的地方，这样列式不对，“”表示V1和V2数值上的平均数，还可以表示初速度V1、末速度V2的匀加速直线运动过程中的平均速度，不表示该题中的平均速度。等距离平均速度公式推导：，假设 A、B 两点之间的距离是 S，去时走了 S，回来走了 S，总路程是 2S，去的速度为 V1，，回来的速度为V2，；，分子、分母同时乘以 V1V2；。推导不重要，只需要记住等距离平均速度的公式。
3、核心公式：，记忆：。
4、题型特征：直线往返、等距离两段、上下坡往返。题目中出现这三种形式之一，考虑等距离平均速度。
二、相对行程
直线相遇：两人同时相向而行。
公式：S和 = V和 * t；S和：两人各自的路程加和。
【注意】直线相遇：两人同时相向而行。
1、例：猫和老鼠早上 8：00 从 A、B 两地同时出发（脸对脸走），在 8：30时两人相遇，例如在C点相遇。S和 = V和 * t，S和 = 猫的路程 + 老鼠的路程 = AC + BC，猫的速度为 V1，猫的路程为 V1 * t；老鼠的速度为 V2，老鼠的路程为 V2 * t，8：00出发 8：30 相遇，都用半小时，运动的时间相同，提出t，S和=AC+BC=V1 * t + V2 * t = （V1+V2） * t。
2、S和=V 和 * t相遇 。
（1）S和：两人各自的路程加和。
（2）t相遇：从开始运动到两人相遇所需的时间，上例中，8：00出发8：30相遇，t相遇=0.5小时。
直线追及：两人同时同向而行。
公式：S差=V差 * t；S差：快的比慢的多走的距离。
【注意】直线追及：两人同时同向而行
1、公式：S差=V差 * t；S：快的比慢的多走的距离。
2、例：早上 8：00，猫从 A地、老鼠B两地同时出发，都往右走，猫的速度为V1，老鼠的速度为V2，猫的速度快，猫追老鼠，假设8：30时猫在C点追上老鼠，是直线追及。追及问题核心公式：S差=V差 * t，S差是两个人的路程作差，S差 = 猫走的路程 - 老鼠走的路程=AC-BC=V1t - V2t，8：00出发8：30 到达C点，都是0.5 小时，时间相同，把t提出来，S 差=（V1-V2） * t。S差：快的人比慢的人多走的距离，对应图中黑色虚线；t：追及所需的时间。
3、直线追及是两人同时同向而行，追上的那一点是脸贴着后脑勺；核心公式：S差=V差 * t，S差：快的比慢的多走的距离；t：追及所需的时间。
4、例如：李老师在王老师家中住宿，早上8：00 王老师从家出发，发现电脑忘带了，给李老师打电话让李老师带电脑，早上9：00李老师出门。王老师提前出发1小时，9：30李老师追上了王老师。先看追及时间，从 9：00 开始追到9：30 追上，追及时间为 0.5 小时，王老师走的是蓝色线段，李老师走的是紫色线段，路程差为黑色部分，S：王老师从 8：00到 9：00 走过的路程。最近的题目都这样考查。
【注意】环形相遇（同时同点、反向）：
1、公式：S 和=V 和 * t。
2、例：环形跑道上，猫和老鼠同时从A点出发，都往B点运动，猫的速度为V1，老鼠的速度为V2，会在某一点相遇，环形相遇：公式：S和=V和 * t，第一次在B 点相遇，S和=1圈（蓝色线段+红色线段）；继续走，老鼠走到B点继续走，猫走到B点继续走，A点出发在C点第二次相遇，S和=2圈；结论：相遇n次，S和=n圈。
3、S和=n 圈=V和 * t。n为相遇次数；圈为每圈的长度；t 为相遇所需的时间
4、例如：跑道一圈为 400 米，猫和老鼠第6次相遇，S和=6 圈=6 * 400=2400米=V和 * t。
5、重点有三个：识别、公式、公式中每个量的含义。
【注意】环形追及（同时同点、同向）：
1、公式： S 差=V差 * t。
2、例：女生和男生都从A点出发，女生走红色路径，男生走蓝色路径，类似初、高中开运动会，有长跑项目（3000 米、5000 米），会出现跑得快的套圈跑得慢的，该过程是环形追及。同时同点同向（顺时针）出发，女生跑得慢，男生跑得快，在B点男生追上女生，女生的路程是红色线段，男生的路程是蓝色线段，S差=男生路程-女生路程=蓝色线段-红色线段=1圈，追上1次，S差=1圈；追上 2次，S差=2圈，每多追上1次，路程差多1圈；结论：追上n次，S差=n圈。
3、S差=n 圏=V差 * t。n 是追上的次数；圈是每圈的长度，t 是追及所需的时间。
4、例：跑道长度为 300米，追上4次，n=4，则S差=4 * 300=1200 米。
5、三个重点：识别、公式、公式中每个量的含义。
【注意】直线两端同时出发多次往返相遇：
1、例：A、B 两地距离为 S，猫从A点出发，速度为V1，老鼠从B点出发，速度为 V2，在中间某一点相遇，第一次相遇，S和=AB=S（红色线段+蓝色线段），老鼠按照原来的方向走，撞墙后掉头回来，猫按照原来的方向走，撞墙后掉头回来，会出现第二次相遇，从开始出发到第二次相遇，S和=3S；相遇后老鼠和猫继续保持原来的方向走，撞墙后掉头，开始到第三次相遇，S=5S，是以公差为2S的等差数列；结论：第n次迎面相遇，共走S和=（2n-1） * S=V和 * t遇 。
2、从两端出发，第1次迎面相遇，共走 1S；第2次迎面相遇，共走 3S；第3 次迎面相遇，共走 5S；第n次迎面相遇，共走S和=（2n-1） * S=V和 * t遇。n为相遇次数，S为两人起点之间的距离（例如滑冰场的长度、游泳池的长度、墙之间的长度等）。
【注意】相遇追及部分的公式比较重要，需要记忆
1、只要是相遇，都用S和=V和 * t遇，只不过在不同的相遇问题中，S 和不同。
（1）直线相遇：S和：两人走的路程加和。
（2）环形相遇：相遇n次，S和=n 圈。
（3）直线多次相遇：S=（2n-1） * S，（S：两人出发时相距的距离）。
2、只要是追及，都用S差=V差 * t追，只不过在不同的追及问题中，S差不同。
（1）追及：S差=V差 * t追。
（2）直线追及：S差：快的比慢的多走的路程。
（3）环形追及：追上n次，S差=n 圈
流水行船
V顺=V船+V水
V逆=V船-V水
V船=1/2 * （V顺+V逆）
V水=1/2 * （V顺-V逆）
注：船在静水中速度=船速、漂流速度=水速
【注意】流水行船：相对而言比较容易。
1、V顺=V船+V水，V逆=V船-V水。如果高山流水，水往下流，水对船起推动作用；如果要乘风破浪，船逆流而上，水对船起阻碍作用。
2、注：
（1）船速：船在静水中速度，依靠船本身的动力前行的速度。
（2）漂流速度：例如矿泉水瓶在水中漂流的速度，漂流速度=水速。
第七节 几何问题
【注意】常见图形公式：
1、长度相关公式：
（1）正方形周长：C=4a。
（2）长方形周长：C=2（a+b）。
（3）圆形周长：C=2πr，π是圆周率，r是半径。
2、面积相关公式：记忆圆形的周长和面积、菱形的面积、扇形的周长和面积。
（1）S正方形=a²。
（2）S长方形=ab。
（3）S平行四边彩=ah。
（4）S三角形=1/2 * （a * h）。
（5）S梯彩=1/2 * （a+b） * h。
（6）S圆形=πr²。区别圆形周长：C=2πr。
（7）S菱形=对线角乘积/2。
①菱形对角线的性质：互相垂直且平分。
②如图所示，菱形对角线可以把菱形分为四个相同（全等）的三角形，面积公式推导：设横向的对角线为 a，往上移、下移，竖着的对角线为b，往左移、右移，S=a * b，长方形中一共8个全等三角形，菱形中只有4个小三角形，S=a * b/2=对角线乘积/2。
（8）S扇=n°/360° * πr²
①如图所示，圆心角是 n°，看扇形占整个圆的比重，圆的一圈为 360°，圆的面积为πr²，扇形的占比=n°/360°，S扇=n°/360° * πr²。
②拓展——算弧长：扇形占整个圆的比重为n°/360°，整个圆的周长为 2πr，弧长=n°/360° * 2πr。
3、体积相关公式：椎体的体积需要乘以 1/3，柱体的体积不需要乘以 1/3。
（1）V正方体=a³
（2）V长方形=a * b * c。
（3）V柱体=S * h。
（4）V锥体=1/3 * Sh。
（5）V球体=（4/3） * πr³。
4、表面积相关公式：圆柱的表面积计算公式需要记忆。
（1）S正方体=6a²，正方体有6个面，不是8个面。
（2）S长方体=2ab+2bc+2ac。
（3）S球=4πr²
（4）S圆柱=2πr²+2πr * h。把圆柱切开，有上下两个圆，面积均为πr²；侧面是长方形（矩形），长方形的宽对应高h，长对应圆柱底面的圆周长2πr，S侧面=2πr * h。
【注意】技巧类——三角形性质：三角形面积=（1/2） * a * h。
1、等底的三角形，面积比是高之比。如左图所示，△ABC 中有一条线 CD，△ABC和△DBC，同底（BC），已知两者的高之比为2：1，则面积之比=2：1。三角形面积=（1/2） * a * h，底相同，面积之比等于高之比。
2、等高的三角形，面积比是底边之比。如右图所示，△ABD 和△ADC，已知两个三角形的底之比为 4：1，高相同（均为红色的线），等高的两个三角形，面积之比=底之比=4：1。
【注意】技巧类——相似三角形：
1、三角形中出现平行边。如图所示，DE//BC，△ADE~△ACB。
2、梯形中出现对角线相连。如图所示，梯形 ABCD 中，AB//CD，内错角相等，∠BAE=∠ECD，∠ABE=∠EDC；对顶角相等，∠AEB=∠CED，则△ABE~△DEC；梯形中，上下三角形一定相似，左右三角形不一定相似，只有在等腰梯形中，左右三角形才相似。
【注意】技巧类——直角三角形性质：
1、直角三角形：勾股定理 a² +b² =c²
2、常见勾股数：（3、4、5），（6、8、10），（5、12、13）。95%以上的直角三角形考查这三组勾股数。
3、特殊直角三角形：
（1）30°的直角三角形：三边之比是1：√3：2。理解：短直角边是斜边的一半；30°角所对的直角边等于斜边的一半：长直角边是短直角边的√3倍。
（2）45°的直角三角形：三边之比是1：1：√2。斜边是直角边的√2倍。
第八节 排列组合与概率问题
【注意】基础概念：
1、分类分步：造句区分→区分的是运算符号（+、 * ）。
（1）分类（分成不同的类别）：相加→要么······要么······。
例：老师要去看一位朋友，动车可以选4班、飞机可以选3班、还有1种自驾，问出行方式有多少种选择？
答：要么选1班动车、要么选1班飞机、要么选自驾，分类问题；分成三类：动车有4种选择、飞机有3种选择、自驾有1种选择；“要么······要么······”分类相加，所求=4+3+1=8 种。
（2）分步（分成几步）：相乘→既······又······
例：明天上班，衣橱有5件上衣、4 条裤子、6 双鞋子，问明天上班的服装搭配有多少种？
答：有两种造句方式，①→既要选1件上衣、又要选1条裤子、又要选双鞋，②→要么选一件上衣、要么选一条裤子、要么选一双鞋子；结合生活常识，都要穿→①合适，“既······又······”→分步问题；分步相乘，上衣有5种选择、裤子有4种选择、鞋有6种选择，所求=5 * 4 * 6=120 种。
2、排列与组合：判断的是如何列式（“A”、“C”）。
（1）判定方法：任意两个元素，调换顺序。
①对结果有影响，排列（A）。
②对结果无影响，组合（C）。
（2）排列（A）：有序。
补例：从 8个人中选出4个人进行 4 * 100 接力赛，共有多少种安排方式？
答：从8个人中选4个→8 写下面、4 写上面，假设这四个人为甲、乙、丙、丁，原来甲在第一棒、乙在第二棒、丙在第三棒、丁在第四棒，任意两个元素调换顺序，甲和乙调换位置→乙在第一棒、甲在第二棒、丙在第三棒、丁在第四棒；原来甲在第一棒、现在乙在第一棒，调换顺序对安排方式有影响一产生新的安排方式，这属于两种不同的安排方式一排列，为A（8，4）。
（3）组合（C）：无序。
补例：从8个人中选出4个人参加培训，共有多少种选法？
答：原来第一个选甲、第二个选乙、第三个选丙、第四个选丁，交换甲、乙的位置，第一个选乙、第二个选甲、第三个选丙、第四个选丁，调换位置对于选法没有影响，哪怕是丙、丁、甲、乙，对于本题而言，都是这4人，说明无序，为C（8，4）。
（4）计算：无需记忆公式，知道如何计算即可。
①排列数：A（n，m）：从n开始往下乘m个数。
a、A（8，3）：从下标8开始往下乘，乘上标（3）个数，A（8，3）=8 * 7 * 6。
b、A（9，4）：从下标9开始往下乘，乘上标（4）个数，A（9，4）=9 * 8 * 7 * 6。
c、A（11，3）：从下标11开始往下乘，乘上标（3）个数，A（11，3）=11 * 10 * 9。
②组合数（分数的形式）：C（n，m）=从 n开始往下乘m个数/从 m开始往下乘m个数。
a、C（8，3）：分母从上标3开始往下乘、乘到1→3 * 2 * 1，分子从下标8开始往下乘、乘上标（3）个数→8 * 7 * 6，C（8，3）=8 * 7 * 6/（3 * 2 * 1）。
b、C（9，4）：分母从上标4开始往下乘、乘到 1→4 * 3 * 2 * 1，分子从下标 9开始往下乘、乘上标（4）个数→9 * 8 * 7 * 6，C（9，4）=9 * 8 * 7 * 6/（4 * 3 * 2 * 1）。
③全选：
a、4 个人照相/排队→有顺序，为 A（4，4），从 4 开始往下乘、乘到 1→4 * 3 * 2 * 1。
b、6个人照相/排队，为A（6，6），从6开始往下乘、乘到 1→6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
④组合数上标、下标相同时，结果为 1。
a、C（3，3）：从3个中选择3个，只有1种选法→全选，C（3，3）=1。
b、C（8，8）=1、C（7，7）=1、C（4，4）=1。
⑤选1个，没有顺序，用“A”或“C”都可以。
a、A（6，1）=C（6，1）=6：从6个人中选择1个人去排队，只选1个人，没有顺序。
b、A（8，1）=C（8，1）=8、A（9，1）=C（9，1）=9。
⑥若两个组合数的下标相等，上标之和=下标，则两个组合数相等
a、C（5，3）=5 * 4 * 3/（3 * 2 * 1）=10、C（5，2）=5 * 4/（2 * 1）=10，发现C（5，2）=C（5，3）。举例理解：C（5，3）表示从5个中选3个，自然而然还剩下2个，说明能够选出多少种“3”、就能剩下多少种“2”。
b、C（9，4）=C（9，5）、C（6，2）=C（6，4）、C（3，1）=C（3，2）。
（5）总结：
①最基础的排列数：A（6，3）=6 * 5 * 4。
②最基础的组合数（分数的形式）：C（6，3），分母从上角标3开始往下乘乘到 1→3 * 2 * 1，分子从下角标6开始往下乘、乘上角标（3）个数→6 * 5 * 4，C（6，3）=6 * 5 * 4/（3 * 2 * 1）。
③6个人排队/照相：A（6，6）=6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1。
④组合数上标、下标相同时，结果为1，如C（8，8）=1、C（9，9）=1、C（5，5）=1。
⑤选1个，没有顺序，用“A”或“C”都可以，如A（7，1）=C（7，1）=7、A（9，1）=C（9，1）=9。
⑥组合数的下标相等、上标之和=下标，两个组合数相等，如C（9，4）=C（9，5）、C（9，8）=C（9，1）=9、C（3，2）=C（3，1）=3。
【注意】捆绑法：
1、题型特征：在一起/相邻/相连/挨着。
2、例：三个男生和三个女生站成一排照相，要求三个女生必须相邻，有几种情况？
答：出现“必须相邻”，利用捆绑法。（1）先捆绑：把要相邻的三个女生在一起，不只有图中这一种排列方式，可能拿对联的女生在左边、提着花灯的女生在中间、叉腰的女生在右边，也可能又腰的女生在左边、提着花灯的女生在中间、拿对联的女生在右边；三个女生在捆绑的过程中内部有顺序（照相有顺序），为 A（3，3）。（2）再排列组合：把绑后的“整体”与其他元素进行排列组合捆绑后的三个女生看作一个主体，另外还有3个男生，则一共有4个主体排列，为A（4，4）。既要捆3名女生、又要将4个主体排在一起，“既······又······”→相乘，所求=A（3，3） * A（4，4）。
【注意】插空法：
1、题型特征：不在一起/不相邻/不相连。
（1）例1：四个男生和两个女生站成一排照相，要求女生互不相邻，有几种情况？
答：要求“女生互不相邻”，利用插空法。①先排列组合：先安排可以相邻的元素，4个男生可以相邻一先安排4个男生，不止图中这一种排法，4个男生站队→A（4，4）。②再插空：女生站在男生制造的空位中，4个男生形成5个空位，选择2个空放入女生一女生只要站在空位中就一定满足“女生互不相邻”照相有顺序，为A（5，2）；或者先选择2个空位→C（5，2），再将2名女生在这 2个位置进行排列→A（2，2），即C（5，2） * A（2，2）=A（5，2）。插空法两步相乘所求=A（4，4） * A（5，2）。
（2）例2：四个男生和两个女生站成一排照相，要求女生互不相邻且女生不在两边，有几种情况？
答：要求“女生互不相邻”，利用插空法。①先排列组合：先安排可以相邻的元素，4个男生可以相邻一先安排4个男生，为A（4，4）。②再插空：女生站在男生制造的空位中，4名男生形成5个空位，要求“女生不在两边”一左右两个空位不能用，则可以从中间的3个空位中选择2个放入2名女生，照相有顺序，为A（3，2）。分步相乘，所求=A（4，4） * A（3，2）。
二、概率问题
给情况求概率
【注意】
1、概率问题分两类，其一为给情况数求概率，其二为给概率求概率。
2、若题目中出现具体的情况数（如有5个男生、3 个女生，任选两个人参加培训，问都是女生的概率），则为给情况数求概率，这类问题直接套公式：概率=满足条件的情况数/总情况数。
3、公式很容易理解，但“······的情况数”为排列组合，故分子和分母往往均为排列组合的形式，建议从分母入手。总情况数即男女不分性别、图书不分种类小球不分颜色、医生不分科室······。
4、例：总情况数为从 5+3=8 人中选2人，为C（8，2）；分子为满足条件的情况数，即都是女生，从3名女生中选2人，培训用C计算，为C（3，2）。所求=C（3，2）/C（8，2）。
5、总情况数（分母）往往好算，有的时候满足条件的情况数（分子）涉及分类，很麻烦，不好算。若算出分母为20，A.3/7、B.5/9、C.2/4、D.7/11，分母为 20，约分后得到答案，20 无法通过约分得到7、9、11，排除 A、B、D项，C 项当选。
给概率求概率
【注意】
1、买彩票，中一等奖的概率为 0.1%，中二等奖的概率为 1%，中三等奖的概率为 2%，问买一张彩票中奖的概率：是给概率求概率，造句分析，“要么……要么……”则相加、“既……又……”则相乘，不可能“既中一等奖，又中二等奖，又中三等奖”，只能是“要么中一等奖，要么中二等奖，要么中三等奖”，是分类问题，相加计算，为0.1%+1%+2%=3.1%。
2、已知中奖的概率为 3.1%，出门捡到钱的概率是 1%，问既中奖又捡钱的概率：相乘计算，为 3.1% * 1%=3.1/10000，这类好事发生的概率极低。
第九节 最值问题
【注意】
一、最不利构造
1、例 1、最不利的情况是距离成功只差一步，即只有2个球的颜色相同，此时再取1个球，一定能取出3个颜色相同的球：已经有2个红球、2个蓝球，再取1个球，若为红球，此时有3个红球，若为蓝球，此时有3个蓝球，均可完成任务，所求=2+2+1=5。若取出4个球，可能是2个红球、2个蓝球，不能保证有3 个球颜色相同；若取出3个红球、1个蓝球，虽然满足3个球颜色相同，但4不一定是 3+1，也可能是 2+2，即无法保证有 3个球颜色相同。
2、例 2：最不利的情况为5个球的颜色相同，有同学考虑取出5 个红球、5个蓝球，然后再+1；注意，蓝球只有4个，无法取出5个，即只能取出4个蓝球，最不利的情况为将蓝球都取出来了，同时又取出了5个红球，此时再取1个球，一定满足题意，所求=5+4+1=10。
3、结论：问“至少······才能保证······”，为最不利构造问题，要保证某种情况有n个，不够n个的则全取，原来够n个的取（n-1）个，最后再+1。n 为问题附近的数，如例 1，n=3，原来不够3个的全取，够3个的取 3-1=2 个，最后再+1；如例 2，n=6，原来不够6个的全取、有多少取多少，原来够6个的取 6-1=5个，最后再+1。
最不利+排列组合
①先确定情况数；②总数=（n-1） * 情况数+1。
某商店有 a、b、c 三种口红，m、n 两种眼影，每位顾客均购买1支口红和1盒眼影。则至少有多少位顾客购买，才能保证有3位顾客购买的美妆搭配是相同的。
【注意】
1、既要三种口红中选 1种，又要两种眼影中选1种，共有C（3，1） * C（2，1）=6 种美妆搭配。要保证3位顾客购买的美妆搭配相同，可能是甲买第一种、乙买第一种，则为2人购买的搭配相同，故最不利的情况为2人购买的搭配相同、每种搭配有 2 人，此时再来1人，即可保证有3 人购买的搭配相同，所求=6 * 2+1=13。6 为情况数，即假如你去选，有多少种选择、套餐，为 2 * 3=6；2=3-1，对应 n-1；最后再+1，即可得到答案。
二、数列构造
【注意】构造数列有套路，且考得较多，各地都在考查：
1、题型特征：和一定，求某个主体的最值，即为构造数列问题。
2、例：5 人分 25 个苹果即和一定，每个人分得的苹果均为正整数即1个苹果不能一人一半，只能是 1、2、3、4、5、6、7······；每个人分得的苹果数各不相同即若甲分2个，则其余人不能分2个。
（1）第一个“最”字表明地位，即问老大最多分几个，和一定，求某个主体的最值，为构造数列问题，四步走。①排序定位：分最多的排第1，分最少的排第 5；②求谁设谁：设第1名分x个苹果；③反推其他：要想让第1名最多即x要尽量大，和一定，则其余人应尽可能少分，让其他量尽可能小，则从最小的入手反推，其他量即第2名到第5名（除了所求量，都是其他量），最小的是第5名，已知每个人分得的苹果均为正整数，0不是正整数，则第5名最少分1个，要求“各不相同”，则第4名要尽可能小且与比1个多、故分2个，第3名要比2个多、则分3个，第2名分4个；④加和求解：x+4+3+2+1=25-x+10=25-x=15。
（2）第一个“最”字表地位，要想让第1名分得的苹果数最少，且第1名分得的数量应比其他人都多，故应在稳定其地位的情况下尽可能少，只要保证是第1名即可。①排序定位：按照分得苹果数从多到少进行排序；②)求谁设谁：设第1名分得x个苹果；③反推其他：要想让x尽量少，和一定，则其他量应尽可能多，让其他量尽可能大，则从最大的入手反推，即从第2名入手反推，第2名不能比x大、应比x小，画数轴分析，则第2名为x-1，第3名要比 x-1 少还得尽量大、应为 x-2，第 4名应为 x-3，第5名应为 x-4；④加和求解：x+（x-1）+（x-2）+（x-3）+（x-4）=25-5x-10=25-5x=35-x=7
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