第一节 带入排除法

代入排除是数量关系第一大法。
代入排除顾名思义是将答案选项代入原题目，与题意不符的选项即可排除，最终得出正确答案。
优先使用代入排除的题型：
（1）多位数问题、余数问题、年龄问题、不定方程等。
（2）无从正面下手的题目，可以考虑代入排除。

第二节 数字特性法

数字特性的应用，其实是一种特殊的代入排除。
数字特性包括：奇偶性、整除特性、倍数特性。
奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶；偶数±偶数=偶；奇数±偶数=奇；奇数x奇数=奇；奇数x偶数=偶；偶数x偶数=偶
【推论】
一、和差同性：任意两个数的和如果是奇数(偶数)，那么差也是奇数(偶数)；任意两个数的差如果是奇数(偶数)，那么和也是奇数(偶数)。
二、任意自然数与偶数相乘，其结果必为偶数。
奇偶性应用特征
①知和求差、知差求和
②二倍类，平均分
③形如 aX+bY=c类的不定方程

整除判定基本法则
①2，4，8整除及其余数判定法则
一个数能被 2(或5)整除，当且仅当末一位数字能被 2(或者5)整除；
一个数能被 4(或者25)整除，当且仅当末两位数字能被4(或者25)整除；
一个数能被 8(或者125)整除，当且仅当末三位数字能被8(或者125)整除
②3，9整除判定基本法则
一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除；
一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除；
③使用场景
题目出现2、4、8、3、9等的倍数。
题目出现倍数、分数、百分数、比例、分组等字眼。
题目中出现“各个数位之和”

倍数特性
例：班级男女比例为7:4，于是男女=74\frac{男}{女}=\frac{7}{4}
男生人数一定是7的倍数；女生人数一定是4的倍数；总人数一定是11的倍数；男女之差一定是3的倍数；男生人数是总人数的
若a:b=m:n，或ab=mn\frac{a}{b}=\frac{m}{n}或者a=mnba=\frac{m}{n}b(m、n互质，m:n不能继续约份)。则a是m的倍数；b是n的倍数；a+b是m+n的倍数；a-b是m-n的倍数

第三节 方程法

方程法是数量关系最重要的方法之一。
应用范围：和差倍比问题、鸡兔同笼、盈亏问题、工程问题、经济利润问题、行程问题等等。
设未知数的原则：
在同等情况下，优先设所求的量
设中间变量、份数(有分数、百分数、比例倍数特征)
优先设小不设大

第四节 不定方程(组)

不定方程(组)
未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。例如，3x+5y=41，两个未知数但是只有一个方程。
目前公务员联考主要考查：
一、限制性不定方程(组)，未知数必须是正整数，例如未知数是人、桌子、盒子、笔等，默认未知数必须是正整数。
解析技巧：①奇偶特性②因子倍数③尾数法④代入排除
二、非限制性不定方程(组)，未知数不限制必须是整数，例如钱、时间，重量等，不必须是正整数，此类题型出题巧妙，技巧性强。
解析技巧：①整体替换②赋0法

第五节 工程问题

核心公式：工作总量=效率x时间。
常用方法：赋值法和方程法。
公务员常考题型：
一、给定时间型：题干中只出现工作时间，未提及效率关系，叫做给定时间型。
解题方法：①赋值总量为时间的公倍数②求出各自的效率③分析求解
二、效率制约型：题干中对效率有制约，例如甲、乙的效率之比为2:3，为效率制约型题目。
解题方法：①赋值效率；②直接赋值各自效率比值，例如甲、乙的效率之比为2:3，赋值甲的效率为2，乙的效率为3；③分析求解
三、效率给出型：直接将效率的具体值给出，例如甲每天生产50个零件。
解题方法：直接分析求解即可。

第六节 行程问题

1.核心公式：
路程=速度x时间
S=vxt
2.等距离求平均速度
v=2v1v2v1+v2v=\frac{2v1v2}{v1+v2}
3.流水行船问题
顺流速度=静水船速+水速
逆流速度=静水船速-水速
4.相遇追及问题
相遇距离=(大速度+小速度)x相遇时间
追及距离=(大速度-小速度)x追及时间
环线型n次相遇，共同行走的距离=nx环线长度。
环线型n次追及，追及的距离=nx环线长度。
5.两端相遇问题
直线型两端出发n次相遇，共同行走距离=(2n-1)x两地初始距离

第七节 排列组合

基本概念：
加法原理：分类用加法
乘法原理：分步用乘法
排列：与顺序有关，每个人去做不同的事情
组合：与顺序无关，每个人去做相同的事情
基本公式：
排列公式：Anm=n(n−1)(n−2)...(n−m+1)A^m_n=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)
例如：A=7x6x5x4
组合公式：Cnm=Anmm!=n(n−1)(n−2)..(n−m+1)m×(m−1)×(−2)...×2×1C^m_n= \frac{A^m_n}{m!}=\frac{n(n-1)(n-2)..(n-m+1)}{m×(m-1)×(-2)...×2×1}
例如：C73=7×6×53×2×1C^3_7=\frac{7×6×5}{3×2×1}
Tip1：C55=C66=C77=Cmm=1C^5_5=C^6_6=C^7_7=C^m_m=1
Tip2：C52=C35、C72=C75、Cmn=Cmm−nC^2_5=C^5_3、C^2_7=C^5_7、C^n_m=C^{m-n}_m
拓展题型：
捆绑法：相邻问题，将相邻的元素捆绑成一个元素
插空法：不相邻问题，先对其他元素排列，然后将不相邻的元素插入空中
插板法：N个物品分给M个人，每人至少分得一个，N个物品中间有(N-1)个空，在空中插入(M-1)个板，共有CN−1M−1C^{M-1}_{N-1}种情况。
错位排列：有N封信和N个信封，每封信都不装在自己对应的信封里，可能的方案数记作Dn，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44D_n，D_2=1，D_3=2，D_4=9，D_5=44，记住这五个即可。

第八节 概率问题

1.基本概率
某种情况发生的概率=满足条件的情况数÷总的情况数。
P=满足条件的情况数总的情况数P=\frac{满足条件的情况数}{总的情况数}
2.分步乘法型
分步概率=满足条件的每个步骤概率之积
3.分类加法型
总体概率=满足条件的各种情况概率之和
4.逆向计算型
某事件的概率=1-该事件不发生的概率

第九节 经济利润问题

1.利润折扣问题：
总成本=单个成本x进口量；总售价=单价x销售量；利润=售价-成本；总利润=总售价-总成本
利润率=利润成本=售价−成本成本=售价成本−1利润率=\frac{利润}{成本}=\frac{售价-成本}{成本}=\frac{售价}{成本}-1
2.分段计费问题
分段计费问题主要涉及水电、资费、提成等通常分段计费问题。解题关键在于找到分段节点，分区间讨论计算。

第十节 最值问题

最不利构造
题型特征：至少…才能保证…
解题方法：最不利情形十1
数列构造
题型特征：最多······最少······
最少······最多······
排名第······最多(少) ······
解题方法：
排序，所有元素进行排序；
定位，求谁设谁x；
构造，根据题意构造其他元素的值；
求和，所有元素求和，解 x。
如果求得x为小数，问最少向上取整，问最多向下取整
多集合反向构造
题型特征：多集合题目中，问题中出现，至少······都······的情况下；
解析策略：采用逆向思考，反向，求和，做差。

第十一节 容斥原理

两集合标准型公式
|A|+|B|-|AB|= 总数-都不满足
三集合标准
|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|=总数-都不满足
三集合非标准
|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2x满足三个条件=总数-都不满足
使用场景：只有当题目中出现“(只)满足两个条件”时，使用非标准公式
文氏图法：每一个封闭区域内只有一个数字，并且代表该区域的面积。
使用原则：出现“只满足某一个条件”时，优先画图法。
不能直接代入公式的，使用画图法。

第十二节 几何问题

常用公式
n边形的内角和与外角和
内角和=(n-2)x180°，外角和恒等于360°
常用周长公式
正方形周长C正方形=4aC_{正方形}=4a；长方形周长C长方形=2(a+b)C_{长方形}=2(a+b)；圆形周长C圆=2πRC_圆=2πR
常用面积公式
正方形面积S正方形=a2S_{正方形}=a^2；长方形面积S长方形=abS_{长方形}=ab；圆形面积S圆=πR2S_圆=πR^2
三角形面积S三角形=12ahS_{三角形}=\frac{1}{2}ah；平行四边形面积S平行四边形=ahS_{平行四边形}=ah；
梯形面积S梯形=12(a+b)hS梯形=\frac{1}{2}(a+b)h；扇形面积S扇形=n360°πR2S_{扇形}=\frac{n}{360°}πR^2
常用表面积公式
正方体的表面积=6a26a^2；长方体的表面积=2ab+2bc+2ac；
圆柱的表面积=2πRh+2πR22πRh+2πR^2，侧面积=2πRh；球的表面积=4πR24πR^2
常用体积公式
正方体的体积=a3a^3；长方体的体积=abc；球的体积=43πR3\frac{4}{3}πR^3
圆柱的体积=πR2hπR^2h；圆锥(棱锥)的体积=13\frac{1}{3} x 底面积 x 高

第十三节 年龄问题

年龄问题
方法一：代入排除法
方法二：方程法
核心点：每年每人长一岁，两个人的年龄差不变

第十四节 溶液问题

核心公式：
浓度=溶质溶液=盐盐水总重量=糖糖水总重量=酒精酒水总重量浓度=\frac{溶质}{溶液}=\frac{盐}{盐水总重量}=\frac{糖}{糖水总重量}=\frac{酒精}{酒水总重量}

第十五节 牛吃草问题

题型特征：双排比句，有一定存量的同时又在变化
牛吃草：240头牛吃6天，200头牛吃10天
挖沙子：80人连续开采6个月，60人连续开采10个月
检票：同时开4个检票口需50分钟，同时开6个检票口需30分钟
水池：5台抽水机 40小时可以抽完，10台抽水机15小时可以抽完
泄洪：打开10个泄洪闸8小时可以恢复安全水位，打开6个需要24小时
解题策略：
(例)一片草地(草以均匀的速度生长)，240头牛可以吃6天，200头牛可以吃10天，则这片草原可供190头牛吃的天数是()
第一步，假设每头牛每天吃1份草。
第二步，假设草场原有y份草，每天自然生长x份草。
第三步，代入第一个条件“240头牛可以吃6天”，240头牛一天可以吃掉240份草，于是草场每天减少(240-x)份，y÷(240-x)=6；代入第二个条件“200头牛可以吃10天”，草场每天减少(200-x)份草，y÷(200-x)=10。
第四步，解方程y=600，x=140，即原草场有600份草，每天长140份草。
第五步，分析计算，190头牛每天吃190份草，每天长140份，于是草场每天实际减少50份草，600-50=12天。
核心公式：T=y(N−x)T=\frac{y}{(N-x)}
y代表原有草量
x代表草的生长速度
N代表“牛数”
T代表时间。

第十六节 循环周期问题

核心点：若一串事物以T为周期，且A÷T=N余a，那么第A项等同于第a项。
如果可以整除，那么第A项就相当于周期当中的最后一项，即第T项。

第十七节 星期日期问题

平年与闰年：
口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰。
大月与小月：大月31天(1、3、5、7、8、10、12月)；小月30 天(4、6、9、11月)
2月 闰年：29天 平年：28天
每过一个平年(365÷7=52余1)星期+1，每过一个闰年(366÷7=52余2)星期+2
星期日期推断：每连续7天一定包含一个完整的星期

第十八节 比赛问题

淘汰赛：
每场比赛淘汰一队，每轮比赛淘汰一半的队伍(如果总数是奇数，例如11个队伍一轮淘汰5个队伍，一支队伍轮空，保留6个队伍)。
循环赛：
单循环赛，每支队伍都要和其他队伍进行一次比赛，N支队伍的总场次是CN2=N×(N−1)2C^2_N=\frac{N×(N-1)}{2}
双循环赛，每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛(分主场和客场)，N队伍的总场次是AN2=N×(N−1)A^2_N=N×(N-1)

第十九节 统筹优化问题

统筹安排型
常用方法：枚举法、逻辑推断

第二十节 钟表问题

追及问题
分针速度为360°/60min=6°/min；时针的速度30°/60min=0.5°/min
一整天分针走过 24 圈，时针走过 2 圈，所以时针追上分针 22 次，时针和分针重合 22 次，垂直 44 次（每次重合前后都会呈现两次垂直）

第二十一节 植树问题

植树问题
单边线性植树：棵数＝总长÷间隔＋1，总长＝(棵数－1)×间隔；
单边环形植树：棵数＝总长÷间隔，总长＝棵数×间隔。
注意：区分题干中是在马路单边植树还是在马路双边植树。
剪绳问题
将绳子截为 N 段，需要截（N-1）次。

第二十二节 函数问题

【例 1】如下图，正方形 ABCD 边长为 10 厘米，一只小蚂蚁 E 从 A 点出发匀速移动，沿边 AB，BC，CD 前往 D 点。问哪个图形能反映三角形 AED 的面积与时间的关系？

第二十三节 数列问题

平均数 公式：𝑎=a1+a2+...+ann𝑎=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}

等差数列
通项公式：𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑𝑎_𝑛 = 𝑎_1 + (𝑛 − 1)𝑑
求和公式：和=12\frac{1}{2}×（首项+末项）×项数=平均数×项数=中位数×项数
项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1

第二十四节 天平问题

天平称量
N 次称量可以从 3N3^N个物品中，选出具有差异的瑕疵品。

第二十五节 空瓶换酒

空瓶换酒型
解题技巧：我们将“M 个空瓶换 1 瓶酒”，转化为“（M-1）个空瓶换 1 个（无瓶）酒”来完成答题，这样的题目我们默认是可以“借瓶再换瓶”的。

第二十六节 方阵问题

若正方形方阵一边人数为 N，长方形方阵两边人数分别为 M、N，则：
（1）正方形实心方阵的总人数为 N2N^2，长方形实心方阵的总人数为 MN。
（2）正方形方阵最外层人数 4N-4，长方形方阵最外层人数 2（M+N）-4。
（3）方阵相邻两层人数相差 8 人。

第二十七节 拿牌问题

拿牌问题
第一次拿完牌后，恰好凑成最大最小数之和的倍数。